📚二项分布的期望方差证明 & 负二项分布的均值与方差推导🎉

在概率论中，二项分布和负二项分布是两个非常重要的离散型随机变量模型。今天，让我们一起探索它们背后的数学奥秘！🎯

首先，对于二项分布 $ B(n, p) $，我们可以通过组合数学的方法证明其期望为 $ np $ 和方差为 $ np(1-p) $。想象一下，在 $ n $ 次独立重复试验中，每次成功的概率为 $ p $，失败的概率为 $ 1-p $。通过归纳法或直接计算 $ E(X) = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X=k) $，可以得出期望公式。而方差则利用公式 $ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ 推导得到。✨

接着，转向负二项分布 $ NB(r, p) $。它描述了第 $ r $ 次成功发生在第 $ X $ 次试验时的概率。通过构造性思维，我们可以证明其期望为 $ \frac{r}{p} $，方差为 $ \frac{r(1-p)}{p^2} $。这个过程需要对概率质量函数进行细致拆解，并结合几何级数求和技巧完成推导。💡

无论是科研还是实际应用，这些基础理论都至关重要！💪

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